3. Movimiento Circular en General.

Si consideramos que el movimiento circular ocurre en el plano XY, con el giro alrededor del eje Z en el sentido de las manecillas del reloj, las expresiones para la posición, la velocidad y la aceleración hay que escribirlas utilizando notación vectorial.

Para comenzar, el vector de posición en coordenadas cartesianas x, y, como se muestra en la figura 6, es:

y en términos de las coordenadas polares r, q, como r es constante, y el ángulo una función del tiempo q(t), lo escribimos como:

(20)

siendo u_r(t) el vector unitario en dirección radial, que cambia su dirección dependiendo del valor de la posición angular q(t), definido por:

.........(21)

Figura 6. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

La velocidad la podemos determinarla a partir de la variación en cada una da las coordenadas cartesianas, o de manera más ilustrativa a través de la coordenada polar q(t),

Aplicando la regla de la cadena, tenemos:

en donde el último factor es la velocidad angular, por lo que:

.......(22)

El cambio del vector unitario radial, de la ecuación 21, resulta:

Es decir que se obtiene un vector unitario perpendicular al vector unitario radial, como se muestra en la figura 7. Este vector unitario angular,

.........(23)

es tangente a la trayectoria circular; después de todo, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria, por lo que la ecuación 22 queda como:

...............(24)

siendo v(t) la "magnitud" de velocidad.

.............(25)

Figura 7. Vectores unitarios radial y angular en el plano XY.

Definamos a la velocidad angular como un vector de magnitud w y dirección dada por una regla de mano derecha considerando que la dirección de la velocidad angular es la dirección en que señala el dedo pulgar de la mano derecha cuando es cerrada en el sentido en el que ocurre el movimiento. En este caso, con el sentido de movimiento correspondiente al contrario de las manecillas del reloj, el vector de velocidad angular es w = wk, es decir perpendicular al plano que contiene el movimiento XY. Con esta definición, la velocidad puede ser escrita mediante el producto vectorial

..............(26)

Por otra parte, la aceleración es:

Sea a(t) = dw(t)/dt el vector de aceleración angular, que en este caso tiene la misma dirección que el vector de velocidad angular, entonces tenemos:

Sustituyendo la expresión para la velocidad, queda:

.............(27)

Al primer término de la ecuación 27, que queda en dirección tangente a la trayectoria, se le conoce como la aceleración tangencial,

...............(28)

mientras que al segundo término, que queda en dirección radial hacia el centro de la trayectoria, se conoce como la aceleración centrípeta o normal,

...........(29)

Otra forma de obtener estas componentes de la aceleración es determinando la aceleración mediante la ecuación 24 como:

............(30)

El cambio en el vector unitario en el tiempo, con la ecuación 23, resulta:

................(31)

Entonces, al sustituir en la expresión 30, la aceleración queda escrita como:

.............(32)

Comparando los términos con la ecuación 27 podemos señalar que la aceleración tangencial está asociada con el cambio en la magnitud de la velocidad; mientras que la aceleración centrípeta o normal está asociada con el cambio en la dirección de la velocidad.

2.2 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA).

Es esta situación, la aceleración angular es constante, por lo que de forma análoga al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se obtienen las ecuaciones que permiten la descripción de este tipo de movimiento, quedando:

(16)

(17)

(18)

(19)

siendo w₀ la velocidad angular en el tiempo inicial t₀ = 0. De igual manera, la gráfica de la velocidad angular en función del tiempo es una recta con pendiente equivalente a la aceleración angular y a la velocidad angular inicial como ordenada al origen.

2.1 Movimiento Circular Uniforme (MCU).

El movimiento circular uniforme es el análogo del movimiento rectilíneo uniforme. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración angular es nula, por lo que la velocidad angular es constante, de tal manera que el desplazamiento angular a partir de la ecuación 10 resulta:

(12)

siendo q₀ la posición angular en el tiempo inicial t₀ = 0.

La rapidez v del movimiento está dada por la distancia recorrida entre el intervalo de tiempo en que ocurre el desplazamiento. La distancia recorrida corresponde a la longitud de arco que se obtiene como el radio de la trayectoria por el desplazamiento angular, por lo que la rapidez es:

que junto con la ecuación 12, resulta:

(13)

En este caso el movimiento es periódico. El período T es el tiempo que tarda en dar cada vuelta, de tal manera que al sustituir al desplazamiento angular de una vuelta, 2p, en la ecuación 12, tenemos que la velocidad angular es:

(14)

La frecuencia f de rotación es el número de vueltas por unidad de tiempo, por lo que es recíproco del período, y la ecuación 14 queda como:

(15)

Es decir, que en este caso, la velocidad angular se puede interpretar como la "frecuencia angular" del movimiento, por lo en ocasiones la velocidad angular es indicada en unidades como "revoluciones por minuto" (rpm), o "vueltas por segundo", etc., entendiéndose que una revolución o una vuelta es equivalente al ángulo "barrido" de 2p rad en cada giro.

2. Cinemática del Movimiento de Rotación en un Plano.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 5. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q(t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

(9)

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI) de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.

Figura 5. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

(10)

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

(11)

medida en radianes por segundo cuadrado en el SI (rad/s²).

Las ecuaciones 10 y 11 constituyen la base de la descripción de la cinemática del movimiento circular a partir de la cual se puede analizar distintos casos.

2. Cinemática del Movimiento de Rotación en un Plano.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 5. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q(t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

(9)

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI); de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.

Figura 5. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

(10)

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

(11)

medida en radianes por segundo cuadrado en el SI (rad/s²).

Las ecuaciones 10 y 11 constituyen la base de la descripción de la cinemática del movimiento circular a partir de la cual se puede analizar distintos casos.

1.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

En este caso, la condición del movimiento es que la aceleración sea constante. Esto significa que la gráfica de velocidad en función del tiempo corresponde a una línea recta con ordenada al origen igual a la velocidad inicial v₀, y la pendiente representa a la aceleración, como se ilustra en la figura 4,

En este caso, la condición del movimiento es que la aceleración sea constante. Esto significa que la gráfica de velocidad en función del tiempo corresponde a una línea recta con ordenada al origen igual a la velocidad inicial v₀, y la pendiente representa a la aceleración, como se ilustra en la figura 4,

(5)

Esta ecuación se obtiene de igual forma a partir de la ecuación 3.

Figura 4. Gráfica de la velocidad en función del tiempo t de un MRUA.

El desplazamiento en función del tiempo lo determinamos a partir del "área bajo la curva" en un intervalo de tiempo de la gráfica. En este caso, el "área" corresponde a la suma del área de un triángulo, (v –v₀)t/2, y un rectángulo, v₀t, quedando:

(6)

Si de la ecuación 5 se despeja a la velocidad final y se sustituye en la ecuación 6, tenemos:

(7)

Esta ecuación se obtiene directamente si la velocidad final de la ecuación 5 es sustituida en la definición 2 y luego se integra.

Finalmente, si de la ecuación 5 se despeja al tiempo y se sustituye en la ecuación 6, se obtiene:

(8)

Las ecuaciones 5 a 8 son el conjunto de relaciones características del movimiento rectilíneo con aceleración constante. En particular, es conveniente identificar la diferencia de la ecuación 6 con la ecuación 4 del movimiento con velocidad constante; en la ecuación 4 el desplazamiento dividido por el tiempo es igual a la velocidad del movimiento, mientras que en la ecuación 6 es igual a la media de las velocidades.