2.1 Movimiento Circular Uniforme (MCU).

El movimiento circular uniforme es el análogo del movimiento rectilíneo uniforme. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración angular es nula, por lo que la velocidad angular es constante, de tal manera que el desplazamiento angular a partir de la ecuación 10 resulta:

(12)

siendo q₀ la posición angular en el tiempo inicial t₀ = 0.

La rapidez v del movimiento está dada por la distancia recorrida entre el intervalo de tiempo en que ocurre el desplazamiento. La distancia recorrida corresponde a la longitud de arco que se obtiene como el radio de la trayectoria por el desplazamiento angular, por lo que la rapidez es:

que junto con la ecuación 12, resulta:

(13)

En este caso el movimiento es periódico. El período T es el tiempo que tarda en dar cada vuelta, de tal manera que al sustituir al desplazamiento angular de una vuelta, 2p, en la ecuación 12, tenemos que la velocidad angular es:

(14)

La frecuencia f de rotación es el número de vueltas por unidad de tiempo, por lo que es recíproco del período, y la ecuación 14 queda como:

(15)

Es decir, que en este caso, la velocidad angular se puede interpretar como la "frecuencia angular" del movimiento, por lo en ocasiones la velocidad angular es indicada en unidades como "revoluciones por minuto" (rpm), o "vueltas por segundo", etc., entendiéndose que una revolución o una vuelta es equivalente al ángulo "barrido" de 2p rad en cada giro.

2. Cinemática del Movimiento de Rotación en un Plano.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 5. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q(t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

(9)

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI) de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.

Figura 5. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

(10)

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

(11)

medida en radianes por segundo cuadrado en el SI (rad/s²).

Las ecuaciones 10 y 11 constituyen la base de la descripción de la cinemática del movimiento circular a partir de la cual se puede analizar distintos casos.

2. Cinemática del Movimiento de Rotación en un Plano.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 5. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q(t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

(9)

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI); de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.

Figura 5. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

(10)

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

(11)

medida en radianes por segundo cuadrado en el SI (rad/s²).

Las ecuaciones 10 y 11 constituyen la base de la descripción de la cinemática del movimiento circular a partir de la cual se puede analizar distintos casos.

1.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

En este caso, la condición del movimiento es que la aceleración sea constante. Esto significa que la gráfica de velocidad en función del tiempo corresponde a una línea recta con ordenada al origen igual a la velocidad inicial v₀, y la pendiente representa a la aceleración, como se ilustra en la figura 4,

En este caso, la condición del movimiento es que la aceleración sea constante. Esto significa que la gráfica de velocidad en función del tiempo corresponde a una línea recta con ordenada al origen igual a la velocidad inicial v₀, y la pendiente representa a la aceleración, como se ilustra en la figura 4,

(5)

Esta ecuación se obtiene de igual forma a partir de la ecuación 3.

Figura 4. Gráfica de la velocidad en función del tiempo t de un MRUA.

El desplazamiento en función del tiempo lo determinamos a partir del "área bajo la curva" en un intervalo de tiempo de la gráfica. En este caso, el "área" corresponde a la suma del área de un triángulo, (v –v₀)t/2, y un rectángulo, v₀t, quedando:

(6)

Si de la ecuación 5 se despeja a la velocidad final y se sustituye en la ecuación 6, tenemos:

(7)

Esta ecuación se obtiene directamente si la velocidad final de la ecuación 5 es sustituida en la definición 2 y luego se integra.

Finalmente, si de la ecuación 5 se despeja al tiempo y se sustituye en la ecuación 6, se obtiene:

(8)

Las ecuaciones 5 a 8 son el conjunto de relaciones características del movimiento rectilíneo con aceleración constante. En particular, es conveniente identificar la diferencia de la ecuación 6 con la ecuación 4 del movimiento con velocidad constante; en la ecuación 4 el desplazamiento dividido por el tiempo es igual a la velocidad del movimiento, mientras que en la ecuación 6 es igual a la media de las velocidades.

1.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).

El movimiento rectilíneo uniforme se presenta bajo la condición de que la aceleración sea nula, es decir, de manera equivalente, que la velocidad es constante. Esta condición implica que el desplazamiento, obtenido a partir de la gráfica de la velocidad en función del tiempo mostrada en la figura 3, o de la ecuación 2, resulte:

(4)

siendo x₀ la posición en el tiempo inicial t₀ = 0.

Figura 3. Gráfica de la velocidad en función del tiempo t de un MRU.

1. Movimiento de Traslación en Una Dimensión.

El punto de partida en la descripción del movimiento de traslación de una partícula es la indicación de su posición en el tiempo. Consideremos un sistema de referencia "fijo" S, con su origen O y el eje cartesiano X, como se indica en la figura 1. El desplazamiento de la partícula en un intervalo de tiempo está dado por el cambio en su posición:

(1)

siendo x(t) la posición en el tiempo t, y x(t+Dt) la posición en el tiempo t + Dt.

Figura 1. Posición de la partícula en el tiempo t.

La velocidad está definida como el desplazamiento por unidad de tiempo,

(2)

la magnitud de la velocidad es la rapidez del movimiento.

La aceleración se define como el cambio en la velocidad por unidad de tiempo

(3)

Cuando el intervalo de tiempo es "grande" se habla de la velocidad media como el desplazamiento entre el intervalo de tiempo; y de manera análoga, de la aceleración media como el cambio de la velocidad entre el intervalo de tiempo.

A partir de las definiciones 2 y 3 se siguen dos hechos concretos respecto a la gráfica de la velocidad en función del tiempo (ver figura 2):

(i) La pendiente de la grafica en un tiempo cualquiera t es la aceleración en ese tiempo:

(ii) El "área bajo la curva" de la gráfica, en un intervalo de tiempo Dt, corresponde al desplazamiento ocurrido en este intervalo.

Las definiciones 2 y 3 constituyen la base general de la cinemática de traslación en una dimensión, a partir de la cual se puede tratar diversas situaciones como las que se presentan a continuación.

Figura 2. Gráfica de la velocidad en función del tiempo t.

Introducción

Para comenzar a establecer las características de la cinemática de rotación y de la cinemática en general, primero trataremos de indicar la analogía entre el movimiento de traslación en una dimensión con las variables angulares del movimiento de rotación en un movimiento circular en general.

Posteriormente, se obtendrán las relaciones vectoriales entre las variables angulares y las variables lineales, haciendo énfasis en el movimiento circular. Hacia la parte final se contempla las características de la descripción del movimiento en general en el espacio y se tratan algunos aspectos de la geometría diferencial de las trayectorias.

Que es ??

La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo) que significa mover.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias y se le llama sistema de referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición. La aceleración es el ritmo con que cambia la velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia la posición en función del tiempo.